Gimė 1921 m. balandžio 9 d. Pilviškiuose, Vilkaviškio rajone.
Mokėsi Žaliosios pradinėje mokykloje, vėliau Pilviškių progimnazijoje.
1938–1940 m. lankė Kauno Darbo rūmų vaidybos studiją, vadovaujamą Juozo Miltinio.
1940 m. pabaigoje kartu su grupe jaunų studijos aktorių atvyko į Panevėžį, kur buvo įkurtas teatras.
Nuo 1940 m. gyveno Panevėžyje, dirbo Panevėžio dramos teatre, vėliau vaidino ir kine.
Per 35 kūrybinio darbo metus teatre sukūrė daugiau kaip 100 vaidmenų.

Įsimintiniausi teatro scenoje sukurti vaidmenys: 

Moska – B. Jonsonas „Sukčiaus testamentas“ („Volponė“), rež. Juozas Miltinis, 1941 m.
Michailas Gurmanas – I. Franko „Pavogtoji laimė“, rež. Juozas Miltinis, 1949 m.
Trigorinas – A. Čechovas „Žuvėdra“, rež. Juozas Miltinis, 1954 m.
Asesorius Brakas – H. Ibsenas „Heda Gabler“, rež. Juozas Miltinis, Vaclovas Blėdis, 1957 m., 1972 m.
Bartolo – P. de Beaumarchais „Sevilijos kirpėjas“, rež. Vaclovas Blėdis, 1957 m.
Nonankuras –  E. M. Labiche’as „Šiaudinė skrybėlaitė“, rež. Juozas Miltinis, 1959 m.
Borkinas – A. Čechovas „Ivanovas“, rež. Juozas Miltinis, 1960 m.
Fokeratas – G. Hauptmannas „Vieniši žmonės“, rež. Juozas Miltinis, 1963 m.
Žaliūgas – B. Sruoga „Pavasario giesmė“, rež. Juozas Miltinis, 1965 m.
Gatvės šlavėjas, kuris yra visai ne šlavėjas – W. Borchertas „Lauke, už durų“, rež. Juozas Miltinis, 1966 m.
Adomas Brunza – J. Grušas „Adomo Brunzos paslaptis“, rež. Vaclovas Blėdis, 1966 m.
Herbertas Georgas Boitleris, pramintas Niutonu – F. Dűrrenmattas „Fizikai“, rež. Juozas Miltinis, 1967 m.
Frankas V – F. Dűrrenmattas „Frankas V“, rež. Juozas Miltinis, 1969 m.
Kurtas – A. Strindbergas „Mirties šokis“, rež. Juozas Miltinis, 1973 m.
Pijus – J. Grušas „Pijus nebuvo protingas“, rež. Juozas Miltinis, 1974 m.

Kine debiutavo 1953 m. ir sukūrė daugiau kaip 30 vaidmenų įvairių kino studijų filmuose.

Ryškiausi vaidmenys kine:

Vilkišius – „Svetimi“, Lietuvos k. s., rež. Marijonas Giedrys, 1961 m.
Rimša – „Vienos dienos kronika“, Lietuvos k. s., rež. Vytautas Žalakevičius, 1963 m.
Tėvas – „Paskutinė atostogų diena“, Lietuvos k. s., rež. Arūnas Žebriūnas, 1964 m.
Marcinkus – „Niekas nenorėjo mirti“, Lietuvos k. s., rež. Vytautas Žalakevičius, 1965 m.
Vaitkevičius – „Jausmai“, Lietuvos k. s., rež. Algirdas Dausa, Almantas Grikevičius, 1968 m.
Steponas – „Ave, vita!“ “, Lietuvos k. s., rež. Almantas Grikevičius, 1969 m.
Kapitonas Padrilijus – „Visa teisybė apie Kolumbą“, LTV, rež. Vytautas Žalakevičius, 1970 m.
Čertopchanovas – „Bajoro Čertopchanovo gyvenimas ir mirtis“, Baltarusijos k. s., rež. Viktoras Turovas, 1972 m.
Raupys – „Velnio nuotaka“, Lietuvos k. s., rež. Arūnas Žebriūnas, 1974 m.
Eigulys – „Sadūto tūto“, Lietuvos k. s., rež. Almantas Grikevičius, 1974 m.

1954 m. Broniui Babkauskui suteiktas LSSR nusipelniusio artisto vardas, 1965 m. – LSSR liaudies artisto vardas.

Buvo sukūręs šeimą. Su žmona Adolfina užaugino du sūnus – Ramūną ir Aurimą (aktorius Aurimas Babkauskas 1946–1991).

B. Babkausko gyvenimas ir kūryba staiga nutrūko 1975 m. spalio 21 d. Panevėžyje. Palaidotas Panevėžio Kristaus Karaliaus katedros kapinėse. Antkapinis paminklas „Liūdinti mūza Melpomenė“ sukurtas skulptoriaus Juozo Lebednyko.